问：泰勒公式有什么实际性的应用？这样展开有什么意义？
- 答：泰勒公式的应用一般有三个方面：
1、利用泰勒式做代换求函数的极限.
这一点应用最广泛!一些等价无穷小也可以使用泰勒公式求出.
2、利用泰勒式证明一些等式或者不等式.
这一点应用的也非常多,在很多大型证明题中都使用过.泰勒公式可以灵活选择在某点,效果也很好.
3、应用拉格朗日余项,可以估值,求近似值.
当然还有挺多,你看看这篇文章吧,泰勒公式的应用讲的非常全面,这里地方太小,也无法全面描述。 - 答：泰勒公式的应用一般有三个方面：
1、利用泰勒式做代换求函数的极限.
这一点应用最广泛!一些等价无穷小也可以使用泰勒公式求出.
2、利用泰勒式证明一些等式或者不等式.
这一点应用的也非常多,在很多大型证明题中都使用过.泰勒公式可以灵活选择在某点,效果也很好.
3、应用拉格朗日余项,可以估值,求近似值.
当然还有挺多,你看看这篇文章吧,泰勒公式的应用讲的非常全面,这里地方太小,也无法全面描述：
问：泰勒公式的研究？
谁可以提供点泰勒公式的应用方面国内外的研究现状和发展的趋势啊？ 我的毕业论文是（泰勒公式及其应用），谁可以提供写论文的资料？
- 答：泰勒
(2004-02-06)
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。 最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。
泰勒的主要着作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量， 及 为流数。他假定z随时间均匀变化，则 为常数。上述公式以现代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成 的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年 ，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性，因而使证明不严谨， 这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。
泰勒定理开创 了有限差分理论，使任何单变量 函数都可展成幂级数；同时亦使泰勒成了有限差分理论的奠基者 。 泰勒于书中还讨论了微积分对一系列物理 问题之应用，其中以有关弦的横向振动之结果尤为重要 。他透过求解方程 导出了基本频率公式，开创了研究弦振问题之先 河。此外，此书还包括了他于 数学上之其他创造性工作，如论述常微分方程的奇异解，曲率 问题之研究等。
1715年，他出版了另一名着《线性透 视论》，更发表了再版的《线性透视原理》（1719） 。他以极严密之形式展开其线性透 视学体系，其中最突出之贡献是提出和使用「没影点」概念， 这对摄影测量制图学之发展有 一定影响。另外，还撰有哲学遗作，发表于1793年。
参考资料：http://kxj.7456.net/show/2/57/
问：泰勒公式有哪些应用？
答：8个常用泰勒公式如下：
泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容。
泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。
泰勒公式的应用
(1)应用泰勒中值定理(泰勒公式)可以证明中值等式或不等式命题。
(2)应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。
(3)应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。
(4)应用泰勒公式可以求解一些极限。
(5)应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。
以上内容参考 百度百科—泰勒公式
问：泰勒公式有哪些应用啊？急？
关键是应用啊，
- 答：泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世．这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来，即(用现在的记号)
这一定理及其中的无穷级数都以泰勒命名．这条定理的重要性现在是众所周知的，在几乎任何一本微积分教科书上都能找到，并在许多数学分支里有着广泛的应用．
泰勒定理的首次正式出现是在1715年版的《正和反的增量法》的第23页上，作为命题7的第2个推论．但在1712年7月26日给梅钦的信中他已叙述了这一结果，不过当时未给出证明．后来，H．贝特曼(Bateman)重印了这封信．泰勒在信上说道，这一工作，是因为在查尔特咖啡馆(Child’s Coffeehouse)里听到梅钦关于用“牛顿级数”解开普勒(Kepler)问题的一席谈话以及看到发表于1694年《哲学会报》上的“哈雷博士求根法”(Dr．Halley’s method of extracting roots)，受到启发才做出来的．他在书中也称赞了牛顿．
这里有两点需要指出．一方面，在17世纪后期和18世纪，随着航海、天文学和地理学的进展，迫切要求三角函数表、对数表和航海表等的插值有较高的精确度，因此许多插值方法应运而生．其中牛顿插值公式(或称格里戈里(Gregory)-牛顿内插公式)用了有限差方法，这一公式由泰勒发展成把函数展开成无穷级数的最有力的方法．但另一方面，除了牛顿以外，莱布尼茨在有限差分方面也做过许多工作，伯努利(Bernoulli)兄弟等在把函数展开成级数方面有许多重要的贡献，而且实际上，J．伯努利(JohannBernoulli)曾于1694年在《教师学报》(Acta Eruditorum)上发表过与泰勒定理相同的结果，泰勒是知道这一切的，但在书中没有提，这里包含有某些其他的原因，我们在后面还会提到．
提一下泰勒在书中给出的定理的证明是很有意思的，从中一方面可以看到当时微积分基础的混乱，另一方面又可以看到许多有识之士为此作出的努力．泰勒认为，可以用有限差分和极限既解释牛顿的流数法又解释莱布尼茨的微分法，流数法的原理“全部能从增量法的原理直接推导出来”(虽然莱布尼茨在那时曾说过，这是“把车子放在马的前面”)．但如何从有限差分过渡到流数，他(和莱布尼茨一样)并不清楚，认为只要把“初始的增量”写成零就行了．因此，他先从有限差分出发，得到格里戈里-牛顿内插公式，然后令其中的初始增量为零，项数为无穷，既没有考虑级数的收敛性也没有给出余项的表达式．F．克莱因(Klein)曾评注道，这是一种“无先例的大胆地通过极限”，“泰勒实际上是用无穷小(微分)进行运算，同莱布尼茨一样认为其中没有什么问题．有意思的是，一个20多岁的年轻人，在牛顿的眼皮底下，却离开了他的极限方法”．
在书中及在以后的一些文章中，泰勒用他的定理把函数展开成级数，得到如正弦函数及对数函数等的标准展式，并用这一方法求微分方程的通解．他还用级数去解数字方程，得到根的近似值，尤其注意到去解根式方程和超越方程．
然而，在半个世纪里，数学家们并没有认识到泰勒定理的重大价值．这一重大价值是后来由J．L．拉格朗日(Lagrange)发现的．他把这一定理刻画为微积分的基本定理，并将其作为自己工作的出发点．18世纪末，拉格朗日给出了泰勒公式的余项表达式(通常称为拉格朗日余项)，并指出，不考虑余项就不能用泰勒级数．泰勒定理的严格证明是在定理诞生的一个世纪之后由A．L．柯西(Cauchy)给出的．
“泰勒级数”这一名词大概是由S．A．吕利埃(L’Huillier)在1786年首先使用的．在此之前，M．J．A．N．C．M．de孔多塞(Condorcet)在1784年对此级数既用了泰勒的名字又用了J．L．R．达朗贝尔(d’Alembert)的名字．
C．麦克劳林(Maclaurin)注意到了泰勒定理的特殊情形，即函数在零点的展开．泰勒在1717年版的《增量法》第27页上讨论了这一情形，麦克劳林本人也指出，这只是泰勒工作的一个特例．但历史在这里开了个玩笑，人们将它作为一条独立的定理而归于麦克劳林．
关于泰勒定理，还有一点要提及，J．伯努利曾和泰勒争论这一定理的优先权．主要依据是前面提到的J．伯努利1694年发表在《教师学报》上的文章．G．皮亚诺(Peano)也认为定理应归于伯努利．A．普林斯海姆(Pringsheim)曾证明从伯努利的积分公式通过变量替换可以得到泰勒定理．但历史的研究表明，并没有充分的证据表明伯努利(还有莱布尼茨等人)已意识到了泰勒定理的最终形式．泰勒独立地发现了这一定理，并将它叙述成最一般的形式．
发生在泰勒和J．伯努利之间的争论实际上是当时发生的另一场著名大争论的延伸，即争论究竟是牛顿还是莱布尼茨首先发明了微积分．英国数学家支持牛顿，欧洲大陆的数学家支持莱尼布茨．为了证明自己一方拥有微积分的真经，双方分别在《哲学会报》和《教师学报》上提出一系列挑战问题，让对方解答．这种挑战曾达到赌50个畿尼(旧英国金币的名称)的激烈程度．泰勒是少数几个能在这场挑战中挺得住的英国数学家之一，但他也并不是总能获胜．有一次，他提出一个形式很复杂的流数积分问题，向所有“非英国”数学家挑战．这一问题在英国只有极少几个几何学家通晓，从而认为是自己一派的优势．但结果却不然，J．伯努利熟知这一积分并指出这一问题早已由莱布尼茨在《教师学报》上解决了．从而这次挑战泰勒大败而归．这场争论后来演变成尖锐的对立，因而往往缺乏理性和公允，双方都受到了损害．泰勒虽然很熟悉莱布尼茨和伯努利的许多工作，但在自己的书中只字不提．反过来，他本人的许多工作(甚至包括1714年的工作)的首创权都遭到了非议．
《增量法》一书不仅是微积分发展史上的一部重要著作，而且还为数学增添了一门新的分支，现在称为“有限差分”．虽然有限差分法在17世纪时已广泛用于插值问题，但正是泰勒的工作才使之成为一个数学分支，泰勒是奠基人．在书中，他还成功地将这一方法应用于振动弦频率及其振动形式的研究以及级数求和．
《增量法》还包括了泰勒的一些创造性工作，它们的重要性到后来才被人们认识到．其中包括微分方程奇解的认识和确定，涉及变量替换及反函数的导数的公式，确定振动中心，曲率及振动弦问题等．与后3个问题有关的工作早些时候曾在《哲学会报》上发表过，其中包含有计算对数的连分式．泰勒将曲率半径看作是通过曲线上三点的极限圆的半径，并将曲率与相切角问题联系起来，后一问题可追溯到欧几里得(Euclid)．他用曲率及曲率半径第一个求得拨动弦的最简单情形——正规振动的解．在命题22和23中，他证明在某些条件下，每一点的振动取单摆的形式．他用弦的长度、重量及摆重来确定单摆的周期．泰勒关于这一问题的见解影响了后人，例如J．伯努利在和儿子D．伯努利(DanielBernoulli)通信讨论这一课题时引用了泰勒的工作．
泰勒在其他学科里也有一些工作值得一提．例如，他正确地推导出大气压的变化率是高度的对数函数．关于光的折射本质的第一个正确解释也属于他(见[1])．
泰勒的另一本著作《直线透视》是18世纪有关透视理论的著作中影响最大的一本．据P．S．琼斯(Jones)统计，这本书在英国出了4版(还不算一个修订本)，并被译成法文和意大利文共出了3版．从1715到1888年有9人写了12本书共22版，追随泰勒的工作．
相传古希腊人在建造露天剧场时应用了透视原理，文艺复兴时期的艺术家、建筑师和工程师们广泛应用透视原理于自己的创作．18世纪的贡献主要是理论完善及科学抽象．泰勒在书中建立了一系列定理并给出严格的证明．其中，最杰出和最富创造性的思想是对所有的直线和平面分别定义了“没影点”和“没影直线”，并对透视问题的反问题的理论和实践进行了研究，这一问题后来构成了J．朗伯(Lambert，他开创了理论制图学的新纪元)工 作的基础，也是现代摄影地理学的基础．泰勒自如地运用平行直线在无穷远处相交的思想，并寻求在透视中直接做几何构造的方法．
如同泰勒的其他著作一样，这本书写得过于简洁和抽象，遭到了一些批评．J．伯努利说，这本书“对所有的人说来是深奥的，而对艺术家们说来难以理解，但是它本来是比较专门地为他们写的”考虑到他和泰勒之间的关系，这番话应打点折扣，但泰勒本人也多少意识到这一点，在书的第二版《直线透视的新原理》(New principles of linear pefspective，1719)中，他作了一些修改和补充，将原来的42页扩展成70页，并增加了一些图形说明如何用他的方法直接画图．
泰勒的工作受到了后人的赞扬．例如，画法几何学的奠基人G．蒙日(Monge)及其学生S．F，拉克鲁瓦(Lacroix)在1801年说它“由于创造性和富有成果的原理，从而高出于其他研究透视的工作”．J．库利奇(Coolidge)在1940年称泰勒的工作是透视学“整个大建筑的拱顶石”
泰勒对于透视理论有浓厚兴趣，不仅因为它与数学及时代文明相一致，而且由于他的家庭影响，前面我们已指出了这一点．在泰勒家族的档案里，据说存有他的绘画．他的外孙W．杨说，泰勒喜爱风景画和水彩画，作品中表现的技巧及知识的运用，受到看过这些作品的专家的好评．在圣约翰学院保存的泰勒的材料中有一份题为“论音乐”(On musick)的未发表的手稿，是由他、牛顿及佩普斯(Pepusch)合作完成的，后者显然是写了音乐的非科学的部分．据说在1713年前，他还交给皇家学会一篇关于音乐的论文．
研究泰勒的生平及工作表明，他对数学发展的贡献，本质上要比一条以他命名的定理大得多．他涉及的、创造的但未能进一步发展的主要数学概念之多令人吃惊．他的工作过分简洁抽象难以追随．家庭影响、生活的不幸、健康不佳以及其他一些无法估量的因素，影响了他不太长的生命中的数学创造． - 答：f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+f''(x0)/2!*(x-x0)^2+...+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n （泰勒公式，最后一项中n表示n阶导数）
f(x)=f(0)+f'(0)*x+f''(x)/2!*x^2+...+f(n)(0)/n!*x^n （麦克劳林公式公式，最后一项中n表示n阶导数）
泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：
f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n+Rn
其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。）
证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：
P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n
来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.), P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0, 所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n! An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x -x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.
接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)= Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn (x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n-0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n- 1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。
泰勒
18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒（Brook Taylor）， 于1685 年8月18日在米德尔塞克斯的埃 德蒙顿出生。1709年后移居伦敦，获法学硕士学位。他在 1712年当选为英国皇家学 会会员，并于两年后获法学博士学位。同年（即1714年）出任 英国皇家学会秘书，四年 后因健康理由辞退职务。1717年，他以泰勒定理求解了数值方程。 最后在1731年1 2月29日于伦敦逝世。
泰勒的主要着作是1715年出版的《正 的和反的增量方法》，书内以下列形式陈述出他已于 1712年7月给其老师梅钦（数学家 、天文学家）信中首先提出的着名定理——泰勒定理：式内v为独立变量的增量， 及 为流数。他假定z随时间均匀变化，则为常数。上述公式以现代 形式表示则为：这公式是从格雷戈里－牛顿插值公式发展而成 的，当x＝0时便称作马克劳林定理。1772年，拉格朗日强调了此公式之重要性，而且 称之为微分学基本定理，但泰勒于证明当中并没有考虑 级数的收敛性，因而使证明不严谨，这工作直至十九世纪二十年代才由柯西完成。
泰勒定理开创
问：泰勒公式有什么用途？
- 答：
泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。
在高等数学的理论研究及应用实践中,泰勒公式有着十分重要的应用，简单归纳如下：
(1)应用泰勒中值定理(泰勒公式)可以证明中值等式或不等式命题。
(2)应用泰勒公式可以证明区间上的函数等式或不等式。
(3)应用泰勒公式可以进行更加精密的近似计算。
(4)应用泰勒公式可以求解一些极限。
(5)应用泰勒公式可以计算高阶导数的数值。扩展资料：
泰勒公式，应用于数学、物理领域，作为一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话。
在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。
问：泰勒公式的用法？
这里为什么要提出2n，为什么不能直接用（1+4n^2）^1/2的泰勒公式，泰勒公式中的x有取值要求吗
答：实际应用中，泰勒公式需要截断，只取有限项，一个函数的有限项的泰勒级数叫做泰勒展开式。泰勒公式的余项可以用于估算这种近似的误差。 泰勒展开式的重要性体现在以下五个方面： 幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。 一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。 泰勒级数可以用来近似计算函数的值，并估计误差。 证明不等式。 求待定式的极限。
拓展资料
一、中值定理
由导数的定义可知，当函数 在点处可导时，在点的邻域内有 因为 是一个无穷小量，故有 。这是在对函数进行局部线性化处理时常用的公式之一。从几何上看，它是用切线来代替曲线的。然而，这样的近似是比较粗糙的，而且只在点的附近才有近似的意义为了改善上述不足，使得近似替代更加精密，数学家们在柯西中值定理的基础上，推导出了泰勒中值定理（泰勒公式） 。
二、公式余项
泰勒公式的余项有两类：一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值） 。
三、几何意义
泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性。
四、一元公式
一个通用表达式，根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有，其中误差是在，即的前提下才趋于0，在近似计算中往往不够精确。
五、多元公式
除了一元泰勒公式外，多元泰勒公式的应用也非常广泛，特别是在微分方程数值解和最优化上有着很大的作用 。
答：π.√(4n^2+1)
把2n抽出根号外
=π.（2n).√[1+1/(4n^2) ]
考虑泰勒公式
n->无穷
√[1+1/(4n^2) ]
= 1+ (1/2)[1/(4n^2)] +o(1/n^2)
=1+ 1/(8n^2) +o(1/n^2)
=π.（2n). [ 1+ 1/(8n^2) +o(1/n^2) ]
整理
=2πn +π/(4n) +o(1/n)
- 答：你要忽略的是高阶无穷小项O(1/n)。如果直接展开，忽略掉的是高阶无穷大项，所以不可以。
问：泰勒展开式及其应用？
- 答：展开是：f(x)在x=0。泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。
函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
多元函数的泰勒公式
在讨论一元函数的时候,我们给出了一元函数y=f(x)的点x处的
n阶泰勒公式
f(x)=f(x)+f'(x)(x-x)+
( (x-x) '+..
2!
+()(x-x. + (+(x-xo) (x-x )1
n!
n+1
(其中0<0<1)
